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データ分析エンジニアによる備忘録的ブログ

確率変数の変換

何度か勉強しているのだけれど、毎回確認しているのでブログに書いておく。

数式転がし

確率変数 $X$ に対して、その関数の確率分布を求める。(例: $X^2$, $\log(X)$)

変換の関数を$Y=\phi(X)$とする。$\phi(x)$は単調増加。

$\phi(x)$は単調増加であるから、$x \leq X \leq x + \Delta x$と$Y \leq Y \leq y + \Delta y$は論理的に同値であるので、

\begin{align*} P(y \leq Y \leq y + \Delta y) = P(x \leq X \leq x + \Delta x) \end{align*} 確率変数$X$, $Y$の密度関数を$f(x)$, $g(y)$とおく。

ここで、$P(x \leq X \leq x + \Delta x) = f(x) \Delta x$であるから、

\begin{align*} g(y) = f(x) \Delta x / \Delta y \approx f(x) ( dx / dy ) \end{align*} となる。

関数$y=\phi(x)$をxについて解いた逆関数を$x=\psi(y)$とすると、

\begin{align*} g(y) = f(\psi(y)) * | d \psi(y) / d y | \end{align*}

として求められる。

確率変数$X \sim uni(0, 1)$に対して、 $y = x^2$(ただし$0 \leq x$)と変換する時の密度関数を求める。

$y = \phi(x) = x^2$の逆関数は、$x = \psi(y) = \sqrt{y}$となる。

よって、

\begin{align*} g(y) &= f(\psi(y)) * | d \psi(y) / d y | \\ & = 1 * d / dy \sqrt{y} \\ & = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \end{align*}

となる。

参考


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