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チェビシェフの不等式でMathJaxの練習

MathJax使いやすいですね。

\begin{align*} \sigma^2 & = \int_{\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \\ & = \int_{\infty}^{\mu - k\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int_{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma} (x-\mu) ^2 f(x) dx + \int_{\mu+k\sigma}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \\ & \geq \int_{-infty}^{\mu-k\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int_{\mu+k\sigma}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \\ & = \int_{|x-\mu| \geq k \sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx \\ & \geq \int_{|x-\mu| \geq k\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx \\ & \geq k^2 \sigma^2 \int_{|x-\mu| \geq k \sigma} f(x) dx \\ & = k^2 \sigma^2 P(|X-\mu| \geq k \sigma) \end{align*} よって、 \begin{align*} P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*} となる。

参考: チェビシェフの定理


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