August 7, 2013

チェビシェフの不等式でMathJaxの練習

MathJax使いやすいですね。

\begin{align*}

\sigma^2 & = \int_{\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \\

& = \int{\infty}^{\mu - k\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int{\mu-k\sigma}^{\mu+k\sigma} (x-\mu) ^2 f(x) dx + \int_{\mu+k\sigma}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \\

& \geq \int{-infty}^{\mu-k\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx + \int{\mu+k\sigma}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx \\

& = \int_{|x-\mu| \geq k \sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx \\

& \geq \int_{|x-\mu| \geq k\sigma} (x-\mu)^2 f(x) dx \\

& \geq k^2 \sigma^2 \int_{|x-\mu| \geq k \sigma} f(x) dx \\

& = k^2 \sigma^2 P(|X-\mu| \geq k \sigma)

\end{align*}

よって、

\begin{align*}

P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}

\end{align*}

となる。

参考:

チェビシェフの定理

© gepuro 2013