北川先生の時系列解析入門の読書記録です。
1.1 時系列データ
時間の経過とともに不規則に変動する現象の記録が時系列
1.2 時系列の分類
連続時間時系列と離散時間時系列
連続時間時系列
- 例：アナログレコーダ
離散時間時系列
- 例：一時間おきに計測された気圧
一変量時系列と多変量時系列
一変量
- 観測時点で一種類の情報
多変量
- ２つ以上の情報
定常時系列と非定常時系列
時間的に変化しない一定の確率的モデルの実現値とみなせる
- 定常時系列
平均が時間とともに変動、平均のまわりの変動の仕方が時間的に変化
- 非定常時系列
ガウス型時系列と非ガウス型時系列
時系列の分布が正規分布に従う
- ガウス型時系列
時系列の分布が正規分布に従わない
- 非ガウス型時系列
非ガウス型時系列のように上下非対称性が見られても、データを変換することによって、近似的にガウス時系列とみなせる場合がある
線形時系列と非線型時系列
線形なモデルの出力として表現できるような時系列
- 線形時系列
非線形なモデルが必要な時系列
- 非線型時系列
欠測値と異常値
何らかの理由で観測値が記録されない
- 欠測値
現象の異常な振る舞い・観測装置の異常など
- 異常値
時系列解析の目的
記述
図示、標本自己共分散関数、標本自己相関関数、ピリオドグラムなど
モデリング
与えられた時系列の変動の仕方を表現する時系列モデルの構成
時系列の確率的構造の解析
予測
時系列が互いに相関を持つことを利用して、現在までに得られた情報から今後の変動を予測すること
信号抽出
時系列から目的に応じて必要な信号や情報を取り出すこと
時系列データの前処理
非定常なデータを定常化する
変数変換
ロジット変換
$z_n = log \left( \frac{y_n}{1-y_n} \right)$
より一般的な方法として、Box-Cox変換がある
差分（階差）
$z_n = \Delta y_n = yn - y{n-1}$
$y_n = a + bn$であれば、
$z_n = \Delta y_n = b$となり直線の傾きが除去できる
y_n = a + bn + cn^2$ならば、
\begin{align*}
$\Delta z_n & = zn - z{n-1} \\
& = \Delta y_n - \Delta y_{n-1} \\\\
& = (b + 2cn) - (b +2c(n-1)) \\
& = 2c
\end{align*}
となり2次成分及び１次成分を除去できる。
年周期であれば
\begin{align*}
\Delta_p y_n = yn = y{n-p}
\end{align*}
として一周期前の値との差分を利用することがある。
前期比, 前年同期比
経済時系列などでは、減系列の前期比や前年同期比を分析することがある
$z_n = \frac{y_n}{y_n - 1}$
$x_n = \frac{yn}{y{n-p}}$
時系列$y_n$が$y_n=T_n w_n$とトレンドとノイズの積
$Tn = (1+\alpha) T{n-1}、$\alpha$は成長率
の場合、
\begin{align*}
z_n & = \frac{yn}{y{n-1}} \\
& = \frac{T_n wn}{T{n-1} w_{n-1}} \\
(1 + \alpha) \frac{wn}{w{n-1}}
\end{align*}
で、成長率$\alpha$を検出出来る
周期$p$, 周期関数$s_n$とノイズの積
$y_n = s_n \dot w_n$, $sn = s{n-p}$
の場合、
\begin{align*}
x_n & = \frac{yn}{y{n-p}} \\
& = \frac{s_n wn}{s{n-p} w_{n-p}} \\
& = \frac{wn}{w{n-p}}
\end{align*}
となり周期分布を除去出来る
移動平均
$2K+1$項の移動平均は
$ Tn = \frac{1}{2k+1} \sum{j=-k}^k y_{n+k}$で定義
直線とノイズの和で表される場合
$y_n = t_n + w_n$
$t_n ~ a + bn$
$T_n$の平均は$t_n$と同じで分散は$w_n$の分散の$1/(2k+1)$となる。
重み付き移動平均
- $Tn = \sum{j=-k}^{k} wj y{n-j}$